Πανελλήνιες 2021 Μαθηματικά. Θέματα & Λύσεις Ημερήσιο & Εσπερινό ΓΕΛ

A1Μονάδες 7

Έστω μια συνάρτηση $\ f $,  η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι $\ f'(x) > 0  $ σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $\ f  $ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

A2Μονάδες 4

Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

A3Μονάδες 4

Πότε δύο συναρτήσεις $\ f $ και $\ g $ λέγονται ίσες;

A4Μονάδες 10

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α)Ισχύει |ημx| < |x|, για κάθε $\ x \in \mathbb{R}^{*} $.

β)Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση $\ f $ με πεδίο ορισμού Α ισχύει ότι $\ f (f^{-1}(x))=x $ , για κάθε $\ x \in A $.

γ)Αν $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x)>0 $ κοντά στο $\ x_0 $.

δ)Έστω μια συνάρτηση $\ f $ συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν $\ f”(x)>0 $ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $\ f $ είναι κυρτή στο Δ.

ε)Αν η $\ f $ είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η $\ f $ παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή, Μ, και μια ελάχιστη τιμή, m.

Δίνεται η συνάρτηση $\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, για την οποία ισχύει ότι $\ f(x+1)=(x+1) \cdot e^{-x} $, για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.

Β1Μονάδες 3

Να δείξετε ότι $\ f(x)=x \cdot e^{1-x} $, $\ x \in \mathbb{R} $.

Β2Μονάδες 6

Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ f $ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Β3Μονάδες 9

Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ f $ ως προς την κυρτότητα, τα σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης, αν υπάρχουν.

Β4Μονάδες 7

Να βρείτε:

(i)Μονάδες 4

το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\ f $.

(ii)Μονάδες 3

το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\ f(x)=λ $ , για τις διάφορες τιμές του $\ λ \in \mathbb{R} $.

Δίνεται η συνάρτηση

$\ f(x) =
\begin{cases}
\ αx^3-3x^2-x+1, x \le 0 \\
\ συνx, 0<x \le \frac{3π}{2} \\
\end{cases} $, με α<-3.

Γ1Μονάδες 6

Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της (μονάδες 3) αλλά μη παραγωγίσιμη στο $\ x_0=0 $ (μονάδες 3).

Γ2Μονάδες 6

(i)Μονάδες 3

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\ f $ ικανοποιεί καθεμιά από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο $\  \left [  0, \cfrac{3π}{2} \right ] $. 

(ii)Μονάδες 3

Να βρεθεί το μοναδικό $\ ξ \in \left (  0, \cfrac{3π}{2} \right ) $ για το οποίο ισχύει $\ f'(ξ)=0 $.

Γ3Μονάδες 6

Να δείξετε ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\ f $ δεν υπάρχουν σημεία με αρνητική τετμημένη στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα x’x.

Γ4Μονάδες 7

Να δείξετε ότι $\ f(x) \ge -1 $ για κάθε $\ x \in \left (  -\infty, \cfrac{3π}{2} \right ]. $

Δ1Μονάδες 4

Να δείξετε ότι η εξίσωση $\ lnx=\cfrac {1}{x} $ (1) έχει μοναδική ρίζα, $\ x_0 $, η οποία ανήκει στο (1,e).

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το $\ x_0 $ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (1) και η συνάρτηση $\ f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $ έχει τύπο $\ f(x)=(lnx_0) \cdot (x+1)-lnx-1 $.

Δ2Μονάδες 6

Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ παρουσιάζει ελάχιστο στο $\ x_0 $, το $\ f(x_0)=0 $.

Δ3Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\ g(x)=x \cdot e^{-x}, x \in \mathbb{R} $ και $\ h(x)=\left ( \cfrac{x_0}{e} \right )^{x+1}, x \in \mathbb{R} $ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη.

Δ4Μονάδες 7

Έστω η συνάρτηση $\ φ: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $, συνεχής, με $\ f(x)>φ(x) $, για κάθε x>0. Θεωρούμε τα σημεία $\ A(x,f(x)) $ και $\ Β(x,φ(x)) $, με x>0. Αν η απόσταση των σημείων A και B γίνεται ελάχιστη στο $\ x=x_0 $, να δείξετε ότι το $\ x=x_0 $ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης φ.