Τα θέματα και οι λύσεις των Πανελλήνιων - Πανελλαδικών εξετάσεων του έτους 2021 στα μαθηματικά προσανατολισμού Ημερήσιου και Επερινού Γενικού Λυκείου (ΓΕΛ)
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΓΕΛ 2021
ΤΕΤΑΡΤΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2021
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
A1Μονάδες 7
Έστω μια συνάρτηση $\ f $, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι $\ f'(x) > 0 $ σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $\ f $ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
A2Μονάδες 4
Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.
A3Μονάδες 4
Πότε δύο συναρτήσεις $\ f $ και $\ g $ λέγονται ίσες;
A4Μονάδες 10
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α)Ισχύει |ημx| < |x|, για κάθε $\ x \in \mathbb{R}^{*} $.
β)Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση $\ f $ με πεδίο ορισμού Α ισχύει ότι $\ f (f^{-1}(x))=x $ , για κάθε $\ x \in A $.
γ)Αν $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x)>0 $ κοντά στο $\ x_0 $.
δ)Έστω μια συνάρτηση $\ f $ συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν $\ f”(x)>0 $ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $\ f $ είναι κυρτή στο Δ.
ε)Αν η $\ f $ είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η $\ f $ παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή, Μ, και μια ελάχιστη τιμή, m.
Δίνεται η συνάρτηση $\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, για την οποία ισχύει ότι $\ f(x+1)=(x+1) \cdot e^{-x} $, για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.
Β1Μονάδες 3
Να δείξετε ότι $\ f(x)=x \cdot e^{1-x} $, $\ x \in \mathbb{R} $.
Β2Μονάδες 6
Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ f $ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Β3Μονάδες 9
Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ f $ ως προς την κυρτότητα, τα σημεία καμπής και να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης, αν υπάρχουν.
Β4Μονάδες 7
Να βρείτε:
(i)Μονάδες 4
το σύνολο τιμών της συνάρτησης $\ f $.
(ii)Μονάδες 3
το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\ f(x)=λ $ , για τις διάφορες τιμές του $\ λ \in \mathbb{R} $.
Δίνεται η συνάρτηση
$\ f(x) =
\begin{cases}
\ αx^3-3x^2-x+1, x \le 0 \\
\ συνx, 0<x \le \frac{3π}{2} \\
\end{cases} $, με α<-3.
Γ1Μονάδες 6
Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της (μονάδες 3) αλλά μη παραγωγίσιμη στο $\ x_0=0 $ (μονάδες 3).
Γ2Μονάδες 6
(i)Μονάδες 3
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\ f $ ικανοποιεί καθεμιά από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο $\ \left [ 0, \cfrac{3π}{2} \right ] $.
(ii)Μονάδες 3
Να βρεθεί το μοναδικό $\ ξ \in \left ( 0, \cfrac{3π}{2} \right ) $ για το οποίο ισχύει $\ f'(ξ)=0 $.
Γ3Μονάδες 6
Να δείξετε ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\ f $ δεν υπάρχουν σημεία με αρνητική τετμημένη στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα x’x.
Γ4Μονάδες 7
Να δείξετε ότι $\ f(x) \ge -1 $ για κάθε $\ x \in \left ( -\infty, \cfrac{3π}{2} \right ]. $
Δ1Μονάδες 4
Να δείξετε ότι η εξίσωση $\ lnx=\cfrac {1}{x} $ (1) έχει μοναδική ρίζα, $\ x_0 $, η οποία ανήκει στο (1,e).
Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το $\ x_0 $ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (1) και η συνάρτηση $\ f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $ έχει τύπο $\ f(x)=(lnx_0) \cdot (x+1)-lnx-1 $.
Δ2Μονάδες 6
Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ παρουσιάζει ελάχιστο στο $\ x_0 $, το $\ f(x_0)=0 $.
Δ3Μονάδες 8
Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\ g(x)=x \cdot e^{-x}, x \in \mathbb{R} $ και $\ h(x)=\left ( \cfrac{x_0}{e} \right )^{x+1}, x \in \mathbb{R} $ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη.
Δ4Μονάδες 7
Έστω η συνάρτηση $\ φ: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $, συνεχής, με $\ f(x)>φ(x) $, για κάθε x>0. Θεωρούμε τα σημεία $\ A(x,f(x)) $ και $\ Β(x,φ(x)) $, με x>0. Αν η απόσταση των σημείων A και B γίνεται ελάχιστη στο $\ x=x_0 $, να δείξετε ότι το $\ x=x_0 $ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης φ.
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους
- Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα.
Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή.
Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα.
Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιο το όνομά σας. - Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν.
Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. - Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δε σβήνει.
Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ. - Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
- Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
- Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.
ΛΥΣΕΙΣ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΓΕΛ 2021
Απαντήσεις των θεμάτων από την ΟΕΦΕ (Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος).
Κατεβάστε τις ενδεικτικές απαντήσεις των θεμάτων και τις λύσεις των ασκήσεων των Πανελληνίων εξετάσεων της Τρίτης Τάξης Γ’ Γενικού Ημερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου (ΓΕΛ) Οι Πανελλαδικές εξετάσεις διεξήχθησαν στις 16 Ιουνίου του 2021 και ημέρα Τετάρτη. Το αρχείο είναι σε μορφή PDF – Portable Document Format – φορμάτ φορητού εγγράφου.