Πανελλήνιες 2020 Μαθηματικά. Θέματα & Λύσεις ΓΕΛ – Επαναληπτικές

A1Μονάδες 7

Αν οι συναρτήσεις $\ f, g $ είναι παραγωγίσιμες στο $\ x_0 $ , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f+g $ είναι παραγωγίσιμη στο $\ x_0 $ και ισχύει: $\ (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0) $.

A2Μονάδες 4

Έστω μια συνάρτηση $\ f $ με πεδίο ορισμού το $\ Α $. Πότε λέμε ότι η $\ f $ παρουσιάζει στο $\ x_0 \in A $ τοπικό μέγιστο;

A3Μονάδες 4

Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.

A4Μονάδες 10
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α.Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

β.$\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}}e^x=-\infty $

γ.Για κάθε συνάρτηση $\ f $, το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της $\ f $, εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της $\ f $.

δ.$\ (ln|x|)’=-\cfrac{1}{x} $, για κάθε $\ x<0 $.

ε.Αν μια συνάρτηση $\ f $ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\ Δ $ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η $\ f $ διατηρεί πρόσημο στο διάστημα $\ Δ $.

Δίνονται οι συναρτήσεις $\ f(x)=x^2+α $ και $\ g(x)=x+β $, όπου $\ α,β \in \mathbb{R} $, για τις οποίες ισχύει $\ (f \circ g)(x)=x^2-2x $ , για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.

Β1Μονάδες 5

Να αποδείξετε ότι $\ α=β=-1 $.

Β2Μονάδες 6

Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις $\ f, g $ είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτησή τους, εφόσον αυτή υπάρχει.

Β3Μονάδες 6

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $\ g^{-1} \circ f $ και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $\ φ(x)=\sqrt{(g^{-1} \circ f)(x)} $.

Β4Μονάδες 8

Έστω η συνάρτηση $\ h:[0,1] \rightarrow\mathbb{R} $, για την οποία ισχύει $\ f(x)+2 \le h(x) \le g(x)+2 $, για κάθε $\ x \in [0, 1] $.

i.Μονάδες 3

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x \to 1}} h(x)=2 $

ii.Μονάδες 5

Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to 1}} \textstyle\cfrac{\sqrt{h(x)+7}-3}{h^2-4} $

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\ f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $, με τύπο $\ f(x)=x^3 $.

Γ1Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι από το σημείο $\ N(-2,f(-2)) $ διέρχονται δύο ακριβώς εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της $\ f $ και να βρείτε τις εξισώσεις τους.

Γ2Μονάδες 9

Έστω $\ (ε): y=3x-2 $ η μία από τις δύο εφαπτομένες του ερωτήματος Γ1. Έστω ακόμα (ζ) ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην (ε) και διέρχεται από το σημείο $\ Μ(0,α) $ με $\ -2<α<2 $. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα στις ευθείες $\ x=-1 $και $\ x=+1 $ υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της (ζ) με τη γραφική παράσταση της $\ f $.

Γ3Μονάδες 8

Ένα υλικό σημείο $\ M(x,x^3) $ κινείται κατά μήκος της καμπύλης $\ y=x^3 $ με ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του $\ x'(t)>0 $. Το σημείο Μ ξεκινά από το σημείο $\ Ν(-2, -8) $ και καταλήγει στην αρχή των αξόνων Ο. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ είναι τριπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης του;

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\ f:(0,\cfrac{π}{2}) $$\rightarrow$$\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

• $\ f(x) \cdot συν^3x + f'(x) \cdot συν^2x \cdot ημx – 1 =0 $, για κάθε $\ x \in (0,\cfrac{π}{2}) $
• $\ f(\cfrac{π}{3})=\cfrac{6+2\sqrt{3}}{3} $.

Δ1Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ g(x)=f(x) \cdot ημx – εφx, x \in (0,\cfrac{π}{2}) $ είναι σταθερή. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι $\ f(x)=\cfrac {1}{ημx}+\cfrac {1}{συνx}, x \in (0,\cfrac{π}{2}) $.

Δ2Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ παρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο $\ x_0=\cfrac{π}{4} $, το οποίο και να βρείτε.

Δ3Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\ f(x)=3\sqrt{2} $ στο διάστημα $\ (0,\cfrac{π}{2}) $ έχει ακριβώς δύο ρίζες $\ ρ_1,ρ_2 $, με $\ ρ_1<ρ_2 $.

Δ4Μονάδες 7

Να αποδείξετε ότι $\ f'(ρ_2)(4ρ_2-π)>4\sqrt{2} $, όπου $\ ρ_2 $ η ρίζα του ερωτήματος Δ3.