Τα θέματα & οι λύσεις των Πανελλήνιων - Πανελλαδικών εξετάσεων του έτους 2020 στα μαθηματικά προσανατολισμού Εσπερινού Γενικού Λυκείου με το παλαιό σύστημα
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΣΠ. ΓΕΛ 2020 – ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
ΤΕΤΑΡΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2020
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
A1Μονάδες 7
Aν οι συναρτήσεις $\ f , g $ είναι παραγωγίσιμες στο $\ x_0 $, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f + g $ είναι παραγωγίσιμη στο $\ x_0 $ και ισχύει $\ (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0) $.
A2Μονάδες 4
Έστω $\ f $ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού $\ Α $ και $\ Α_1 $ το σύνολο των σημείων του$\ Α $ στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Πώς ορίζεται η πρώτη παράγωγος της $\ f $;
A3Μονάδες 4
Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano.
A4Μονάδες 4
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Για κάθε συνάρτηση $\ f $, με $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x)=0 $, ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} \cfrac{1}{f(x)}=+\infty $ ή $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} \cfrac{1}{f(x)}=-\infty $».
α)Μονάδα 1
Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
β)Μονάδες 3
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α).
A5Μονάδες 6
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}}=+\infty $, τότε $\ f(x)>0 $ για κάθε $\ x $ κοντά στο $\ x_0 $.
β)Αν μία συνάρτηση $\ f $ είναι συνεχής στο $\ [α,β] $, παραγωγίσιμη στο $\ (α,β) $ και
$\ f'(x) \ne 0 $ για κάθε $\ x \in (α, β) $, τότε $\ f(α) \ne f(β) $.
γ)Για κάθε συνάρτηση $\ f $ που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R} $, ισχύει $\ f'(x)>0 $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.
Δίνονεται η συνάρτηση $\ f(x)=\cfrac{3x+1}{x-3}, x \in \mathbb{R}-\{3\} $ .
Β1Μονάδες 5
Να αποδείξετε ότι η $\ f $ αντιστρέφεται στο $\mathbb{R}-\{3\} $.
Β2Μονάδες 8
Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις $\ f $ και $\ f^{-1} $ είναι ίσες.
Β3Μονάδες 6
Να αποδείξετε ότι $\ (f \circ f)(x)=x $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} -\{3\} $.
Β4Μονάδες 6
Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to {-\frac{1}{3}}}} \left( f(x)ημ\cfrac{1}{3x+1}\right) $.
Δίνεται η συνάρτηση $\ f(x)=\cfrac{(λ-1)x^3+λx^2-1}{λx^2+1}$, όπου $\ λ \in \mathbb{R} $ της οποίας η γραφική παράσταση στο
+$\ \infty $ έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία $\ y=1 $.
Γ1Μονάδες 6
Να αποδείξετε ότι $\ λ=1 $.
Γ2Μονάδες 6
Να μελετήσετε την $\ f $ ως προς τα ακρότατα.
Γ3Μονάδες 8
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\ f(x)+\sqrt{x^3}=0, x \ge 0 $ έχει ακριβώς μία ρίζα $\ x_0 $ η οποία βρίσκεται στο διάστημα (0, 1).
Γ4Μονάδες 5
Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0^-}}} \cfrac{1}{f(x)+\sqrt{x^3}} $ όπου $\ x_0 $ η μοναδική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος Γ3.
Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου και $\ \hat{ΒΟΜ}=θ $, τότε:
Δ1Μονάδες 5
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση της γωνίας θ είναι:
$\ E(θ)=(1+συνθ)ημθ, θ \in (0,π)$.
Δ2Μονάδες 8
Να βρείτε την τιμή της γωνίας $\ θ \in (0,π)$, για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.
Δ3Μονάδες 6
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δυο γωνίες $\ θ_1, θ_2 $, με $\ θ_1<θ_2 $, για τις οποίες το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με $\ \cfrac{3}{4} $.
Δ4Μονάδες 6
Για τις γωνίες $\ θ_1, θ_2 $, του ερωτήματος Γ3, να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\ ξ_1, ξ_2 \in (0,π) $ τέτοια, ώστε:
$\ (\cfrac{π}{3}-θ_1)Ε'(ξ_1)=(\cfrac{π}{3}-θ_2)Ε'(ξ_2) $.
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους
- Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα.
Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή.
Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα.
Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιο το όνομά σας. - Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν.
Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. - Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δε σβήνει.
Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ. - Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
- Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
- Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.