Πανελλήνιες 2020 (Παλαιό Σύστημα) Μαθηματικά. Θέματα, Λύσεις Εσπ. ΓΕΛ

A1Μονάδες 7

Aν οι συναρτήσεις $\ f , g $ είναι παραγωγίσιμες στο $\ x_0 $, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f + g $ είναι παραγωγίσιμη στο $\ x_0 $ και ισχύει $\ (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0) $.

A2Μονάδες 4

Έστω $\ f $ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού $\ Α $ και $\ Α_1 $ το σύνολο των σημείων του$\ Α $ στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Πώς ορίζεται η πρώτη παράγωγος της $\ f $;

A3Μονάδες 4

Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano.

A4Μονάδες 4

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

«Για κάθε συνάρτηση $\ f $, με $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x)=0 $, ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} \cfrac{1}{f(x)}=+\infty $ ή $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} \cfrac{1}{f(x)}=-\infty $».

α)Μονάδα 1

Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.

β)Μονάδες 3

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α).

A5Μονάδες 6

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}}=+\infty $, τότε $\ f(x)>0 $ για κάθε $\ x $ κοντά στο $\ x_0 $.

β)Αν μία συνάρτηση $\ f $ είναι συνεχής στο $\ [α,β] $, παραγωγίσιμη στο $\ (α,β) $ και
$\ f'(x) \ne 0 $ για κάθε $\ x \in (α, β) $, τότε $\ f(α) \ne f(β) $.

γ)Για κάθε συνάρτηση $\ f $ που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R} $, ισχύει $\ f'(x)>0 $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.

Δίνονεται η συνάρτηση $\ f(x)=\cfrac{3x+1}{x-3}, x \in \mathbb{R}-\{3\} $ .

Β1Μονάδες 5

Να αποδείξετε ότι η $\ f $ αντιστρέφεται στο $\mathbb{R}-\{3\} $.

Β2Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις $\ f $ και $\ f^{-1} $ είναι ίσες.

Β3Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι $\ (f \circ f)(x)=x $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} -\{3\} $.

Β4Μονάδες 6

Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to {-\frac{1}{3}}}} \left( f(x)ημ\cfrac{1}{3x+1}\right) $.

Δίνεται η συνάρτηση $\ f(x)=\cfrac{(λ-1)x^3+λx^2-1}{λx^2+1}$, όπου $\ λ \in \mathbb{R} $ της οποίας η γραφική παράσταση στο
+$\ \infty $ έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία $\ y=1 $.

Γ1Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι $\ λ=1 $.

Γ2Μονάδες 6

Να μελετήσετε την $\ f $ ως προς τα ακρότατα.

Γ3Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\ f(x)+\sqrt{x^3}=0, x \ge 0 $ έχει ακριβώς μία ρίζα $\ x_0 $ η οποία βρίσκεται στο διάστημα (0, 1).

Γ4Μονάδες 5

Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0^-}}} \cfrac{1}{f(x)+\sqrt{x^3}} $ όπου $\ x_0 $ η μοναδική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος Γ3.

Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου και $\ \hat{ΒΟΜ}=θ $, τότε:

Δ1Μονάδες 5

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση της γωνίας θ είναι:
$\ E(θ)=(1+συνθ)ημθ,  θ \in (0,π)$.

Δ2Μονάδες 8

Να βρείτε την τιμή της γωνίας $\ θ \in (0,π)$, για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.

Δ3Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δυο γωνίες $\ θ_1, θ_2 $, με  $\ θ_1<θ_2 $, για τις οποίες το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με $\ \cfrac{3}{4} $.

Δ4Μονάδες 6

Για τις γωνίες $\ θ_1, θ_2 $, του ερωτήματος Γ3, να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\ ξ_1, ξ_2 \in (0,π) $ τέτοια, ώστε:

$\ (\cfrac{π}{3}-θ_1)Ε'(ξ_1)=(\cfrac{π}{3}-θ_2)Ε'(ξ_2) $.