Θέματα των Επαναληπτικών (Σεπτεμβρίου) Πανελλήνιων - Πανελλαδικών εξετάσεων 2020 μαθηματικών προσανατολισμού Γενικού Λυκείου με το παλαιό σύστημα.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2020
ΤΡΙΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2020
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
A1Μονάδες 7
Έστω μια συνάρτηση $\ f $ παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\ (α, β) $, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο $\ x_0 $, στο οποίο όμως η $\ f $ είναι συνεχής. Αν $\ f'(x)>0 $ στο $\ (α, x_0) $ και $\ f'(x)<0 $ στο $\ (x_0, β) $, τότε να αποδείξετε ότι το $\ f(x_0) $ είναι τοπικό μέγιστο της $\ f $.
A2Μονάδες 4
Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.
A3Μονάδες 4
Πότε λέμε ότι η ευθεία $\ x=x_0 $ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $\ f $;
A4Μονάδες 4
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Για κάθε συνάρτηση $\ f $, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R} $, ισχύει $\ f”(x)>0 $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.»
α.Μονάδες 1
Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
β.Μονάδες 3
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).
A4Μονάδες 6
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α.Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $\ f, g $ για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις $\ f \circ g $ και $\ g \circ f $ , ισχύει $\ f \circ g=g \circ f $.
β.Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $\ f, g $ για τις οποίες υπάρχουν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x) $, $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} g(x) $ και $\ f(x)<g(x) $ για κάθε $\ x $ κοντά στο $\ x_0 $, ισχύει $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x) < \displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} g(x) $.
γ.Αν η $\ f $ είναι μια συνεχής συνάρτηση στο $\ [α,β] $, η οποία δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό και $\int_α^β f(x)dx=0 $, τότε η $\ f $ παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές στο $\ [α,β] $.
Δίνονται οι συναρτήσεις $\ f(x)=(x+α)^2-1$, $\ x \in [-1, +\infty) $, $\ α \in \mathbb{R} $ και $\ g(x)=x^2-1 $, $\ x \in \mathbb{R} $.
Αν η κλίση της γραφικής παράστασης Cf της $\ f $ στο σημείο με τετμημένη $\ x_0=0 $ είναι ίση με 2, τότε:
Β1Μονάδες 5
Να αποδείξετε ότι $\ α=1 $.
Β2Μονάδες 8
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της, $\ f^{-1}$.
Αν $\ f^{-1}=\sqrt{x+1}-1 $, $\ x \in [-1, +\infty) $ τότε:
Β3Μονάδες 6
Να βρείτε τη συνάρτηση $\ f^{-1} \circ g $.
Β4Μονάδες 6
Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to {-1}}} \textstyle\cfrac{f^{-1}(x)+1}{( f^{-1} \circ g)(x)} $, όπου $\ (f^{-1} \circ g)(x)=|x|-1 $, $\ x \in \mathbb{R} $.
Στο διπλανό σχήμα δίνεται ημικύκλιο με κέντρο Κ και διάμετρο ΜΝ = 4 cm. Ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις x cm και 2y cm είναι εγγεγραμμένο στο ημικύκλιο.
Γ1Μονάδες 6
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ως συνάρτηση του $\ x $, είναι $\ E(x)=2\sqrt{4x^2-x^4} $, $\ x \in (0,2) $.
Γ2Μονάδες 7
Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ώστε το εμβαδόν του να γίνεται μέγιστο.
Γ3Μονάδες 5
Να βρείτε τις τιμές του x ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ να είναι ίσο με $\ 2\sqrt{3} cm^3 $.
Γ4Μονάδες 7
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f(x)=(E(x)-2\sqrt{3})e^x $, $\ x \in (0,2) $ έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο στο διάστημα $\ (\sqrt{2}, \sqrt{3}) $.
Έστω $\ f: \left [-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} $ μια συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε για κάθε $\ x \in \left [-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $ να ισχύει: $\ x \cdot f(x) = συνx-1 $.
Δ1Μονάδες 3
Να αποδείξετε ότι
$\ f(x) =
\begin{cases}
\ \cfrac{συνx-1}{x}, x \in \left [-\cfrac{π}{2},0\right) \cup \left(0,\cfrac{π}{2}\right] \\
\ 0, x=0 \\
\end{cases} $
Δ2Μονάδες 4
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\ I=\int_{-\cfrac{π}{2}}^{\cfrac{π}{2}} f(x)dx $
Δ3Μονάδες 7
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\ \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $.
Δ4Μονάδες 4
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\ 2020 \cdot συνx-x=2020 $ έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα $\ \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $.
Δ5Μονάδες 7
Έστω $\ F $ μια αρχική συνάρτηση της $\ f $ στο διάστημα $\ \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $ με $\ F(0)=ρ $, όπου ρ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (Δ4). Να αποδείξετε ότι για κάθε $\ x \in \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $ ισχύει: $\ π \cdot |F(x)| \le 2 \cdot |x| $.
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους
- Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα.
Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία.
Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα.
Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιο το όνομά σας. - Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν.
Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. - Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δε σβήνει.
Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ. - Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
- Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
- Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17.00 μ.μ.
ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2020 ΠΑΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
Απαντήσεις των θεμάτων από την ΟΕΦΕ (Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος).