Πανελλήνιες 2020 (Παλαιό Σύστημα) Μαθηματικά Θέματα ΓΕΛ Επαναληπτικές

A1Μονάδες 7

Έστω μια συνάρτηση $\ f $ παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\ (α, β) $, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο $\ x_0 $, στο οποίο όμως η $\ f $ είναι συνεχής. Αν $\ f'(x)>0 $ στο $\ (α, x_0) $ και $\ f'(x)<0 $ στο $\ (x_0, β) $, τότε να αποδείξετε ότι το $\ f(x_0) $ είναι τοπικό μέγιστο της $\ f $.

A2Μονάδες 4

Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

A3Μονάδες 4

Πότε λέμε ότι η ευθεία $\ x=x_0 $ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $\ f $;

A4Μονάδες 4

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

«Για κάθε συνάρτηση $\ f $, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R} $, ισχύει $\ f”(x)>0 $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.»

α.Μονάδες 1

Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.

β.Μονάδες 3

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).

A4Μονάδες 6
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α.Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $\ f, g $ για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις $\ f \circ g $ και $\ g \circ f $ , ισχύει $\ f \circ g=g \circ f $.

β.Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $\ f, g $ για τις οποίες υπάρχουν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x) $, $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} g(x) $ και $\ f(x)<g(x) $ για κάθε $\ x $ κοντά στο $\ x_0 $, ισχύει $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x) < \displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} g(x) $.

γ.Αν η $\ f $ είναι μια συνεχής συνάρτηση στο $\ [α,β] $, η οποία δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό και $\int_α^β f(x)dx=0 $, τότε η $\ f $ παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές στο $\ [α,β] $. 

Δίνονται οι συναρτήσεις $\ f(x)=(x+α)^2-1$, $\ x \in [-1, +\infty) $, $\ α \in \mathbb{R} $ και $\ g(x)=x^2-1 $, $\ x \in \mathbb{R} $.

Αν η κλίση της γραφικής παράστασης C_f της $\ f $ στο σημείο με τετμημένη $\ x_0=0 $ είναι ίση με 2, τότε:

Β1Μονάδες 5

Να αποδείξετε ότι $\ α=1 $.

Β2Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της, $\ f^{-1}$.

Αν $\ f^{-1}=\sqrt{x+1}-1 $, $\ x \in [-1, +\infty) $ τότε:

Β3Μονάδες 6

Να βρείτε τη συνάρτηση $\ f^{-1} \circ g $.

Β4Μονάδες 6

Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to {-1}}} \textstyle\cfrac{f^{-1}(x)+1}{( f^{-1} \circ g)(x)} $, όπου $\ (f^{-1} \circ g)(x)=|x|-1 $, $\ x \in \mathbb{R} $.

Στο διπλανό σχήμα δίνεται ημικύκλιο με κέντρο Κ και διάμετρο ΜΝ = 4 cm. Ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις x cm και 2y cm είναι εγγεγραμμένο στο ημικύκλιο.

Γ1Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ως συνάρτηση του $\ x $, είναι $\ E(x)=2\sqrt{4x^2-x^4} $, $\ x \in (0,2) $.

Γ2Μονάδες 7

Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ώστε το εμβαδόν του να γίνεται μέγιστο.

Γ3Μονάδες 5

Να βρείτε τις τιμές του x ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ να είναι ίσο με $\ 2\sqrt{3} cm^3 $.

Γ4Μονάδες 7

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f(x)=(E(x)-2\sqrt{3})e^x $, $\ x \in (0,2) $ έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο στο διάστημα $\ (\sqrt{2}, \sqrt{3}) $.

Έστω $\ f: \left [-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right]  \rightarrow \mathbb{R} $ μια συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε για κάθε $\ x \in \left [-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right]  $ να ισχύει: $\ x \cdot f(x) = συνx-1 $.

Δ1Μονάδες 3

Να αποδείξετε ότι

$\ f(x) =
\begin{cases}
\ \cfrac{συνx-1}{x}, x \in \left [-\cfrac{π}{2},0\right) \cup \left(0,\cfrac{π}{2}\right] \\
\ 0, x=0 \\
\end{cases} $

Δ2Μονάδες 4

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\ I=\int_{-\cfrac{π}{2}}^{\cfrac{π}{2}} f(x)dx $ 

Δ3Μονάδες 7

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\ \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $.

Δ4Μονάδες 4

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\ 2020 \cdot συνx-x=2020 $ έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα $\ \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $.

Δ5Μονάδες 7

Έστω $\ F $ μια αρχική συνάρτηση της $\ f $ στο διάστημα $\ \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $ με $\ F(0)=ρ $, όπου ρ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (Δ4). Να αποδείξετε ότι για κάθε $\ x \in \left[-\cfrac{π}{2}, \cfrac{π}{2}\right] $ ισχύει: $\ π \cdot |F(x)| \le 2 \cdot |x| $.