Τα θέματα των Πανελλήνιων - Πανελλαδικών εξετάσεων του έτους 2013 στα μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης της Γ' τάξης Γενικού Λυκείου (ΓΕΛ).
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΓΕΛ 2013
ΔΕΥΤΕΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
A1Μονάδες 7
Έστω $\ f $ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν $\ G $ είναι μια παράγουσα της $\ f $ στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: $\int_α^β f(t)dt=G(β)-G(α) $
A2Μονάδες 4
Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.)
A3Μονάδες 4
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση $\ f $ είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της;
A4Μονάδες 10
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α)Η εξίσωση $\ |z-z_0|=ρ, ρ>0 $ παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο $\ Κ(z_0) $ και ακτίνα $\ ρ^2 $, όπου $\ z,z_0 $ μιγαδικοί αριθμοί.
β)Αν $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x) < 0 $, τότε $\ f(x) < 0 $ κοντά στο $\ x_0 $
γ)Ισχύει ότι: $\ |ημx| \le |x| $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $
δ)Ισχύει ότι: $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \textstyle\frac{συνx-1}{x}=1 $
ε)Μια συνεχής συνάρτηση $\ f $ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της $\ f $ χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: $\ (z-2)(\overline{z}-2)+|z-2|=2 $
Β1Μονάδες 8
Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\ z $, είναι κύκλος με κέντρο K(2,0) και ακτίνα ρ=1 (μονάδες 5)
Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό $\ z $ που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι $\ |z| \le 3 $ (μονάδες 3)
Β2Μονάδες 9
Αν οι μιγαδικοί αριθμοί $\ z_1,z_2 $ που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης $\ w^2+bw+γ=0 $, με w μιγαδικό αριθμό, $\ β,γ \in \mathbb{R} $ και $\ |Im(z_1)-Im(z_2)|=2 $ τότε να αποδείξετε ότι: β=-4 και γ=5
Β3Μονάδες 8
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς $\ α_0,α_1,α_2 $ οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση: $\ ν^3+α_2^2+α_1ν+α_0=0 $ τότε να αποδείξετε ότι: $\ |ν| < 4 $
Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\ f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ με $\ f $ παραγωγίσιμη τέτοιες ώστε:
- $\ (f(x)+x)(f'(x)+1)=x $, για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $
- $\ f(0)=1 $ και
- $\ g(x)=x^3+\frac{3x^2}{2}-1 $
Γ1Μονάδες 9
Να αποδείξετε ότι: $\ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x $, $\ x \in \mathbb{R} $
Γ2Μονάδες 8
Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $\ f(g(x))=1 $
Γ3Μονάδες 8
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\ x_0 \in (0,\frac{π}{4}) $ τέτοιο, ώστε: $\int_{x_0-\frac{π}{4}}^0 f(t)dt=f(x_0-\frac{π}{4})εφx_0 $
Έστω $\ f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:
- Η $\ f’ $ είναι γνησίως αύξουσα στο $\ (0,+\infty) $
- $\ f(1)=1 $
- $\displaystyle{\lim_{h \to 0}} \textstyle\frac{f(1+5h)-f(1-h)}{h}=0 $
Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση $\ g(x)= \int_α^x \frac{f(t)-1}{t-1}dt $, $\ x \in (1,+\infty) $ και $\ α > 1 $
Να αποδείξετε ότι:
Δ1Μονάδες 6
$\ f'(1)=0 $ (μονάδες 4), καθώς επίσης ότι η $\ f $ παρουσιάζει ελάχιστο στο $\ x_0=1 $ (μονάδες 2).
Δ2Μονάδες 9
η $\ g $ είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο $\ \mathbb{R} $: $\int_{8x^2+5}^{8x^2+6} g(u)du > \int_{2x^4+5}^{2x^4+6} g(u)du $
Δ3Μονάδες 10
η $\ g $ είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση $\ (α-1)\int_α^x \frac{f(t)-1}{t-1} dt=(f(α)-1)(x-α), x>1 $ έχει ακριβώς μια λύση.
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους
- Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα.
Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή.
Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα.
Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας. - Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν.
Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. - Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δε σβήνει.
Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ. - Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
- Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
- Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.