Πανελλήνιες 2013 – Μαθηματικά κατεύθυνσης. Θέματα Γ Γενικού Λυκείου

A1Μονάδες 7

Έστω $\ f $ μια  συνεχής συνάρτηση σε ένα  διάστημα [α,β]. Αν $\ G $ είναι μια παράγουσα της $\ f $ στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: $\int_α^β f(t)dt=G(β)-G(α) $

A2Μονάδες 4

Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.)

A3Μονάδες 4

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση $\ f $ είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της;

A4Μονάδες 10

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α)Η εξίσωση $\ |z-z_0|=ρ, ρ>0 $ παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο $\ Κ(z_0) $ και ακτίνα $\ ρ^2 $, όπου $\ z,z_0 $ μιγαδικοί αριθμοί.

β)Αν $\displaystyle{\lim_{x \to {x_0}}} f(x) < 0 $, τότε $\ f(x) < 0 $ κοντά στο $\ x_0 $

γ)Ισχύει ότι: $\ |ημx| \le |x| $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $

δ)Ισχύει ότι: $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \textstyle\frac{συνx-1}{x}=1 $

ε)Μια συνεχής συνάρτηση $\ f $ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της $\ f $ χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: $\ (z-2)(\overline{z}-2)+|z-2|=2 $

Β1Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\ z $, είναι κύκλος με κέντρο K(2,0) και ακτίνα ρ=1 (μονάδες 5)

Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό $\ z $ που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι $\ |z| \le 3 $ (μονάδες 3)

Β2Μονάδες 9

Αν οι μιγαδικοί αριθμοί $\ z_1,z_2 $ που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης $\ w^2+bw+γ=0 $, με w μιγαδικό αριθμό, $\ β,γ \in \mathbb{R} $ και $\ |Im(z_1)-Im(z_2)|=2 $ τότε να αποδείξετε ότι: β=-4 και γ=5

Β3Μονάδες 8

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς $\ α_0,α_1,α_2 $ οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση: $\ ν^3+α_2^2+α_1ν+α_0=0 $ τότε να αποδείξετε ότι: $\ |ν| < 4 $

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\ f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ με $\ f $ παραγωγίσιμη τέτοιες ώστε:

• $\ (f(x)+x)(f'(x)+1)=x $, για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $
• $\ f(0)=1 $ και
• $\ g(x)=x^3+\frac{3x^2}{2}-1 $

Γ1Μονάδες 9

Να αποδείξετε ότι: $\ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x $, $\ x \in \mathbb{R} $

Γ2Μονάδες 8

Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $\ f(g(x))=1 $

Γ3Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\ x_0 \in (0,\frac{π}{4}) $ τέτοιο, ώστε: $\int_{x_0-\frac{π}{4}}^0 f(t)dt=f(x_0-\frac{π}{4})εφx_0 $

Έστω $\ f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

• Η $\ f’ $ είναι γνησίως αύξουσα στο $\ (0,+\infty) $
• $\ f(1)=1 $
• $\displaystyle{\lim_{h \to 0}} \textstyle\frac{f(1+5h)-f(1-h)}{h}=0 $

Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση $\ g(x)= \int_α^x \frac{f(t)-1}{t-1}dt $, $\ x \in (1,+\infty) $ και $\ α > 1 $

Να αποδείξετε ότι:

Δ1Μονάδες 6

$\ f'(1)=0 $ (μονάδες 4), καθώς επίσης ότι η $\ f $ παρουσιάζει ελάχιστο στο $\ x_0=1 $ (μονάδες 2).

Δ2Μονάδες 9

η $\ g $ είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο $\ \mathbb{R} $:  $\int_{8x^2+5}^{8x^2+6} g(u)du > \int_{2x^4+5}^{2x^4+6} g(u)du $

Δ3Μονάδες 10

η $\ g $ είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση $\ (α-1)\int_α^x \frac{f(t)-1}{t-1} dt=(f(α)-1)(x-α), x>1 $ έχει ακριβώς μια λύση.