Παγκύπριες Εξετάσεις 2006 Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Θέματα & Λύσεις

1Να βρείτε το ολοκλήρωμα : $\int (3x-ημx)dx. $

2Δίνεται η έλλειψη $\cfrac{x^2}{9} + \cfrac{y^2}{4} =1 $. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών, των εστιών και την εκκεντρότητα της έλλειψης.

3Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη με εξίσωση $\ y=6x^2 $, τις ευθείες $\ x=1, x=2 $ και τον άξονα των $\ x $.

4Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \textstyle\cfrac{x+ln(x+1)}{e^x-1} $.

5Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας τα ψηφία 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίων;

6Δίνονται τα σημεία $\ Α(1,1) $ και $\ Β(3, 5) $. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο το ΑΒ.

7∆ίνονται οι πίνακες $\ A= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} $ και $\ Β= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} $

(α)Να βρείτε τον πίνακα $\ Γ= Α \cdot Β $

(β)Να βρείτε τον πίνακα $\ Β^{-1} $

8Τα $\ Α $ και $\ Β $ είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου $\ Ω $ για τα οποία ισχύει: $\ P(A)=\cfrac{1}{3}, P(A \cup B)=\cfrac{53}{60} $ και $\ P(B’)=\cfrac{1}{4} $. Να βρείτε τις πιθανότητες $\ P(B), P(A \cap B) $ και $\ P(A-B) $.

9Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής $\ y^2=4αx $ στο σημείο της $\ (x_1,y_1) $ είναι η $\ y_1y=2α(x+x_1) $.

10Χρησιµοποιώντας την αντικατάσταση $\ u=x^2+1 $, ή µε οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να βρείτε το ολοκλήρωμα: $\int \cfrac{x^3}{(x^2+1)^2}dx. $

1∆ίνεται η συνάρτηση $\ y=\cfrac{x^2+1}{x^2-4} $. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής µε τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης, να την παραστήσετε γραφικά.

2∆ίνεται η καμπύλη µε εξίσωση $\ y=\sqrt{x}, x>0 $ και το σημείο $\ A(1,0) $.

(α)Να εκφράσετε σε συνάρτηση του $\ x $ την απόσταση του σημείου $\ Α $ από τυχαίο σημείο $\ (x,y) $ της καμπύλης.

(β)Να βρείτε το σημείο της καμπύλης που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο $\ Α $ και να βρείτε την ελάχιστη αυτή απόσταση.

3Μια βιομηχανία κατασκευάζει αυτοκίνητα σε δύο εργοστάσια. Το 3% των αυτοκινήτων που κατασκευάζει το εργοστάσιο Α και το 1% των αυτοκινήτων που κατασκευάζει το εργοστάσιο Β είναι ελαττωματικά. Το 2005 το εργοστάσιο Α κατασκεύασε 15000 αυτοκίνητα και το εργοστάσιο Β 5000 αυτοκίνητα. Ελέγχουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο της βιομηχανίας από την παραγωγή του 2005.

(α)Να βρείτε την πιθανότητα το αυτοκίνητο που ελέγξαμε να έχει κατασκευαστεί από το εργοστάσιο Α.

(β)Να βρείτε την πιθανότητα το αυτοκίνητο που ελέγξαμε να είναι ελαττωματικό.

(γ)Αν το αυτοκίνητο που ελέγξαμε είναι ελαττωματικό, ποια η πιθανότητα να έχει κατασκευαστεί από το εργοστάσιο Α;

4∆ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις $\ f $ και $\ g $ ορισμένες στο διάστημα $\ [0,π] $. Αν για κάθε $\ x \in[0,π] $ ισχύουν οι σχέσεις $\ f(x)=f(π-x) $ και $\ g(x)+g(π-x)=π $, χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση $\ x=π-y $ ή µε οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να αποδείξετε ότι $\ \int_0^π f(x)g(x)dx=\cfrac{π}{2} \int_0^π f(x)dx $. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\ \int_0^π \cfrac{xημx}{1+συν^2x}dx. $

5∆ίνεται η έλλειψη $\ \cfrac{x^2}{α^2}+\cfrac{y^2}{β^2}=1. $

(α)Να δείξετε ότι το σχήμα, στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της έλλειψης µε κλίση $\ λ, λ \ne 0 $, είναι ευθεία (ε) µε εξίσωση $\ y=-\cfrac{β^2}{λα^2}x. $

(β)Η ευθεία (ε) τέμνει την έλλειψη σε δύο σημεία. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της έλλειψης σε οποιοδήποτε από αυτά έχει κλίση $\ λ $.