Εισαγωγικές εξετάσεις 2018 - Πανελλαδικές - Θέματα τέκνων του εξωτερικού & ελλήνων υπαλλήλων που υπηρετούν στο εξωτερικό - Μαθηματικά προσανατολισμού.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΕΚΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ 2018
ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ
ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2018
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
A1Μονάδες 7
Έστω $\ f $ μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\ (α,β) $, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\ x_0 $, στο οποίο όμως η $\ f $ είναι συνεχής.
Αν η $\ f'(x) $ διατηρεί πρόσημο στο $\ A(α,x_0)\cup(x_0,β)$, να αποδείξετε ότι το $\ f(x_0) $ δεν είναι τοπικό ακρότατο και ότι η $\ f $ είναι γνησίως μονότονη στο $\ (α,β) $.
A2Μονάδες 4
Έστω $\ Α $ ένα μη κενό υποσύνολο του $\mathbb{R} $. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\ Α $;
A3Μονάδες 4
Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\ f, g, F, G, H, T $.
Να γράψετε στο τετράδιό σας ποια από τις συναρτήσεις $\ F, G, H, T $ μπορεί να είναι η παράγωγος της συνάρτησης $\ f $ και ποια της $\ g $.
A4Μονάδες 4
Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων $\ f, g: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $, αν ισχύει $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} f(x)= +\infty$ και $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} g(x)= -\infty$, τότε $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} [f(x)+g(x)]= 0$».
α)Μονάδα 1
Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
β)Μονάδες 3
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α.
A5Μονάδες 6
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α)Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ μπορεί να τέμνει μία ασύμπτωτή της.
β)Αν μία συνάρτηση $\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ είναι “1-1”, τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της $\ f $ το πολύ ας ένα σημείο.
γ)γ)Αν οι συναρτήσεις $\ f $ και $\ g $ έχουν πεδίο ορισμού το $\ [0,1] $ και σύνολο τιμών το $\ [2,3] $, τότε ορίζεται η $\ f \circ g $ με πεδίο ορισμού το $\ [0,1] $ και σύνολο τιμών το $\ [2,3] $.
Δίνεται η συνάρτηση $\ f(x) =
\begin{cases}
\ \frac{x+1}{x}, \qquad x>1\\
\ x^2+α, \quad x\le1. \\
\end{cases} $.
Β1Μονάδες 3
Να υπολογίσετε το $\ α \in \mathbb{R} $ ώστε η συνάρτηση $\ f $ να είναι συνεχής.
Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρείστε ότι $\ α=1 $.
Β2Μονάδες 6
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\ f $ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $\ [\frac{1}{2},4] $
Β3Μονάδες 7
Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\ f $ στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία $\ y=-\frac{1}{4}x+2018 $ και να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων στα σημεία αυτά.
Β4Μονάδες 9
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $\ f $ και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση.
Δίνεται η συνάρτηση $\ f: (1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $, με τύπο: $\ f(x)=\frac{e^x}{x} $.
Γ1Μονάδες 7
Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ αντιστρέφεται και ότι το πεδίο ορισμού της $\ f^{-1} $ είναι το διάστημα $\ (e,+\infty) $.
Γ2Μονάδες 10
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\ \frac{f(α)}{x-1}+\frac{f^{-1}(α)}{x-2}-\frac{ημα-2}{x}=0 $, όπου $\ α>e $, έχει ακριβώς δύο ρίζες ως προς $\ x $, μία στο διάστημα $\ (0,1) $ και μία στο διάστημα $\ (1,2) $.
Γ3Μονάδες 8
Να αποδείξετε ότι $\ f(x)+1>e+lnf(x) $, για κάθε $\ x>1 $.
Δίνεται η συνάρτηση $\ f: [0,π] \rightarrow \mathbb{R} $, με τύπο $\ f(x)=2ημx-x $.
Δ1Μονάδες 5
Να βρείτε τα ακρότατα της $\ f $(τοπικά και ολικά).
Δ2Μονάδες 5
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\ x_0 \in [0,π] $ η γραφική παράσταση της $\ f $ και η εφαπτομένη της στο $\ Α(x_0,f(x_0)) $ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
Δ3Μονάδες 8
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\int_0^π f(x)συνxdx $.
Δ4Μονάδες 7
α)Μονάδες 2
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \textstyle\frac{f(x)}{x}=1 $.
β)Μονάδες 5
Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \textstyle [(f(x)-f(2x)) \cdot lnx] $.
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους
- Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα.
Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή.
Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα.
Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιο το όνομά σας. - Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν.
Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. - Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δε σβήνει.
- Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
- Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
- Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00