Εισαγωγικές εξετάσεις 2018 στα Μαθηματικά – Τέκνων του εξωτερικού

A1Μονάδες 7

Έστω $\ f $ μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\ (α,β) $, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $\ x_0 $, στο οποίο όμως η $\ f $ είναι συνεχής.

Αν η $\ f'(x) $ διατηρεί πρόσημο στο $\ A(α,x_0)\cup(x_0,β)$, να αποδείξετε ότι το $\ f(x_0) $ δεν είναι τοπικό ακρότατο και ότι η $\ f $ είναι γνησίως μονότονη στο $\ (α,β) $.

A2Μονάδες 4

Έστω $\ Α $ ένα μη κενό υποσύνολο του $\mathbb{R} $. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\ Α $;

A3Μονάδες 4

Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\ f, g, F, G, H, T $.

Να γράψετε στο τετράδιό σας ποια από τις συναρτήσεις $\ F, G, H, T $ μπορεί να είναι η παράγωγος της συνάρτησης $\ f $ και ποια της $\  g $.

A4Μονάδες 4

Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

«Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων $\ f, g: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $, αν ισχύει $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} f(x)= +\infty$ και $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} g(x)= -\infty$, τότε $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} [f(x)+g(x)]= 0$».

α)Μονάδα 1

Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.

β)Μονάδες 3

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α.

A5Μονάδες 6

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α)Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ μπορεί να τέμνει μία ασύμπτωτή της.

β)Αν μία συνάρτηση $\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ είναι “1-1”, τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της $\ f $ το πολύ ας ένα σημείο.

γ)γ)Αν οι συναρτήσεις $\ f $ και $\ g $ έχουν πεδίο ορισμού το $\ [0,1] $ και σύνολο τιμών το $\ [2,3] $, τότε ορίζεται η $\ f \circ g $ με πεδίο ορισμού το $\ [0,1] $ και σύνολο τιμών το $\ [2,3] $.

Δίνεται η συνάρτηση $\ f(x) =
\begin{cases}
\ \frac{x+1}{x}, \qquad x>1\\
\ x^2+α, \quad x\le1. \\
\end{cases} $.

Β1Μονάδες 3

Να υπολογίσετε το $\ α \in \mathbb{R} $ ώστε η συνάρτηση $\ f $ να είναι συνεχής.

Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρείστε ότι $\ α=1 $.

Β2Μονάδες 6

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\ f $ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $\ [\frac{1}{2},4] $

Β3Μονάδες 7

Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\ f $ στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία $\ y=-\frac{1}{4}x+2018 $ και να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων στα σημεία αυτά.

Β4Μονάδες 9

Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $\ f $ και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση.

Δίνεται η συνάρτηση $\ f: (1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $, με τύπο: $\ f(x)=\frac{e^x}{x} $.

Γ1Μονάδες 7

Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\ f $ αντιστρέφεται και ότι το πεδίο ορισμού της $\ f^{-1} $ είναι το διάστημα $\ (e,+\infty) $.

Γ2Μονάδες 10

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\ \frac{f(α)}{x-1}+\frac{f^{-1}(α)}{x-2}-\frac{ημα-2}{x}=0 $, όπου $\ α>e $, έχει ακριβώς δύο ρίζες ως προς $\ x $, μία στο διάστημα $\ (0,1) $ και μία στο διάστημα $\ (1,2) $.

Γ3Μονάδες 8

Να αποδείξετε ότι $\ f(x)+1>e+lnf(x) $, για κάθε $\ x>1 $.

Δίνεται η συνάρτηση $\ f: [0,π] \rightarrow \mathbb{R} $, με τύπο $\ f(x)=2ημx-x $.

Δ1Μονάδες 5

Να βρείτε τα ακρότατα της $\ f $(τοπικά και ολικά).

Δ2Μονάδες 5

Να αποδείξετε ότι για κάθε $\ x_0 \in [0,π] $ η γραφική παράσταση της $\ f $ και η εφαπτομένη της στο $\ Α(x_0,f(x_0)) $ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Δ3Μονάδες 8

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\int_0^π f(x)συνxdx $.

Δ4Μονάδες 7

α)Μονάδες 2

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \textstyle\frac{f(x)}{x}=1 $.

β)Μονάδες 5

Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x \to 0}} \textstyle [(f(x)-f(2x)) \cdot lnx] $.