Πανελλήνιες 2020 – Μαθηματικά. Θέματα Ημερήσιο ΕΠΑΛ – Επαναληπτικές

A1Μονάδες 5
Έστω $\ x_1 ,x_2 ,…, x_κ $ οι τιμές μίας μεταβλητής $\ X $ ενός δείγματος μεγέθους $\ ν $ , όπου $\ κ, ν $ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με $\ κ \le ν $. Για τη σχετική συχνότητα $\ f_i $ της τιμής $\ x_i, i=1,2,…,k $ να αποδείξετε ότι: $\ f_1+f_2+…+f_κ=1 $.

A2Μονάδες 5
Έστω μία συνάρτηση $\ f $ με πεδίο ορισμού A, και B το σύνολο των $\ x \in A $  στα οποία η $\ f $ είναι παραγωγίσιμη.
Πώς ορίζεται η (πρώτη) παράγωγος της f ;

A3Μονάδες 6
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α.
Αν η συνάρτηση υ της ταχύτητας ενός κινητού είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση a του κινητού τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος της ταχύτητας.

β.
Αν δύο συναρτήσεις $\ f , g $ ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο A, τότε ορίζεται και η συνάρτηση $\ R=\cfrac{f}{g} $ με $\ R(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} $, όπου $\ x \in A $ και $\ g(x) \ne 0 $.

γ.
Αν $\ x_1, x_2 $ είναι τιμές μίας ποσοτικής μεταβλητής X , με αντίστοιχες συχνότητες $\ ν_1, ν_2 $ , τότε για τις αθροιστικές συχνότητες $\ Ν_1, Ν_2 $ ισχύει $\ ν_2=Ν_2+Ν_1 $, όπου $\ Ν_1=ν_1 $.

A4Μονάδες 9
Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε.

α. $\ (ημx)’ = … $

β. $\ (x^ρ)’ = … $ , όπου ρ ρητός αριθμός.

γ. $\ \left(\cfrac{f(x)}{g(x)}\right)’ = … $, όπου $\ f , g : \mathbb{R} \rightarrow$$\mathbb{R} $ είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, με $\ g(x) \ne 0 $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $. 

Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο χρόνος σε ώρες που αφιερώνουν 20 μαθητές σε αθλητικές δραστηριότητες κατά τη διάρκεια μίας ημέρας.

Β1Μονάδες 7

Να αποδείξετε ότι $\ κ=3 $.

Β2Μονάδες 10

Για $\ κ=3 $ να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε με αριθμητικές τιμές.

Β3Μονάδες 3

Πόσοι από τους παραπάνω μαθητές αφιερώνουν χρόνο σε αθλητικές δραστηριότητες κατά τη διάρκεια μίας ημέρας;

Β4Μονάδες 5

Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών που αφιερώνουν τουλάχιστον 2 ώρες σε αθλητικές δραστηριότητες;

Δίνεται η συνάρτηση $\ f(x)=\cfrac{1-x}{1+x}, x \ne -1 $.

Γ1Μονάδες 7

Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ $f ως προς τη μονοτονία για $\ x < −1 $.

Γ2Μονάδες 6

Αν $\ x \in [-4,-2] $, να αποδείξετε ότι $\ -3 \le f(x) \le -\cfrac{5}{3} $.

Γ3Μονάδες 6

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\ f $ στο σημείο $\ A(0,f(0)) $.

Γ4Μονάδες 6

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $\ f $ στο σημείο $\ A(0,f(0)) $ τέμνει τους άξονες x’x και y’y στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου $\ Ο(0,0) $ είναι η αρχή των αξόνων.

Δίνεται η συνάρτηση $\ f:$ $\ \mathbb{R} $$\rightarrow$$\mathbb{R}$ με τύπο:

$\ f(x)=x^3-6x^2+9x-α^2-8α, α \in \mathbb{R}$

Δ1Μονάδες 8

Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ f $ ως προς τη μονοτονία της.

Δ2Μονάδες 4

Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης $\ f $ ως συνάρτηση του $\ α $.

Δ3Μονάδες 8

Να βρείτε για ποια τιμή του $\ α $ το τοπικό ελάχιστο της $\ f $ παίρνει τη μέγιστη τιμή του.

Δ4Μονάδες 5

Για $\ α = −4 $ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to 3}} \textstyle\cfrac{f(x)-16}{f'(x)} $.