Τα θέματα των επαναληπτικών (Σεπτεμβρίου) Πανελλήνιων - Πανελλαδικών εξετάσεων του 2020 στα Μαθηματικά ημερήσιων επαγγελματικών Λυκείων (ΕΠΑΛ). Download
ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΑΛ 2020
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 25 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2020
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ)
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
A1Μονάδες 5
Έστω $\ x_1 ,x_2 ,…, x_κ $ οι τιμές μίας μεταβλητής $\ X $ ενός δείγματος μεγέθους $\ ν $ , όπου $\ κ, ν $ μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με $\ κ \le ν $. Για τη σχετική συχνότητα $\ f_i $ της τιμής $\ x_i, i=1,2,…,k $ να αποδείξετε ότι: $\ f_1+f_2+…+f_κ=1 $.
A2Μονάδες 5
Έστω μία συνάρτηση $\ f $ με πεδίο ορισμού A, και B το σύνολο των $\ x \in A $ στα οποία η $\ f $ είναι παραγωγίσιμη.
Πώς ορίζεται η (πρώτη) παράγωγος της f ;
A3Μονάδες 6
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α.
Αν η συνάρτηση υ της ταχύτητας ενός κινητού είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση a του κινητού τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος της ταχύτητας.
β.
Αν δύο συναρτήσεις $\ f , g $ ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο A, τότε ορίζεται και η συνάρτηση $\ R=\cfrac{f}{g} $ με $\ R(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} $, όπου $\ x \in A $ και $\ g(x) \ne 0 $.
γ.
Αν $\ x_1, x_2 $ είναι τιμές μίας ποσοτικής μεταβλητής X , με αντίστοιχες συχνότητες $\ ν_1, ν_2 $ , τότε για τις αθροιστικές συχνότητες $\ Ν_1, Ν_2 $ ισχύει $\ ν_2=Ν_2+Ν_1 $, όπου $\ Ν_1=ν_1 $.
A4Μονάδες 9
Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε.
α. $\ (ημx)’ = … $
β. $\ (x^ρ)’ = … $ , όπου ρ ρητός αριθμός.
γ. $\ \left(\cfrac{f(x)}{g(x)}\right)’ = … $, όπου $\ f , g : \mathbb{R} \rightarrow$$\mathbb{R} $ είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, με $\ g(x) \ne 0 $ για κάθε $\ x \in \mathbb{R} $.
Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο χρόνος σε ώρες που αφιερώνουν 20 μαθητές σε αθλητικές δραστηριότητες κατά τη διάρκεια μίας ημέρας.
Β1Μονάδες 7
Να αποδείξετε ότι $\ κ=3 $.
Β2Μονάδες 10
Για $\ κ=3 $ να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε με αριθμητικές τιμές.
Β3Μονάδες 3
Πόσοι από τους παραπάνω μαθητές αφιερώνουν χρόνο σε αθλητικές δραστηριότητες κατά τη διάρκεια μίας ημέρας;
Β4Μονάδες 5
Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών που αφιερώνουν τουλάχιστον 2 ώρες σε αθλητικές δραστηριότητες;
Δίνεται η συνάρτηση $\ f(x)=\cfrac{1-x}{1+x}, x \ne -1 $.
Γ1Μονάδες 7
Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ $f ως προς τη μονοτονία για $\ x < −1 $.
Γ2Μονάδες 6
Αν $\ x \in [-4,-2] $, να αποδείξετε ότι $\ -3 \le f(x) \le -\cfrac{5}{3} $.
Γ3Μονάδες 6
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\ f $ στο σημείο $\ A(0,f(0)) $.
Γ4Μονάδες 6
Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $\ f $ στο σημείο $\ A(0,f(0)) $ τέμνει τους άξονες x’x και y’y στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου $\ Ο(0,0) $ είναι η αρχή των αξόνων.
Δίνεται η συνάρτηση $\ f:$ $\ \mathbb{R} $$\rightarrow$$\mathbb{R}$ με τύπο:
$\ f(x)=x^3-6x^2+9x-α^2-8α, α \in \mathbb{R}$
Δ1Μονάδες 8
Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\ f $ ως προς τη μονοτονία της.
Δ2Μονάδες 4
Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης $\ f $ ως συνάρτηση του $\ α $.
Δ3Μονάδες 8
Να βρείτε για ποια τιμή του $\ α $ το τοπικό ελάχιστο της $\ f $ παίρνει τη μέγιστη τιμή του.
Δ4Μονάδες 5
Για $\ α = −4 $ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to 3}} \textstyle\cfrac{f(x)-16}{f'(x)} $.
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους
- Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα).
Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. - Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν.
Δεν επιτρέπεται να γράψετεκαμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. - Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης.
- Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
- Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
- Ώρα δυνατής αποχώρησης: 17.00 μ.μ.